Rdm : l’effort tranchant (1)

Introduction

Dans le présent chapitre nous étudierons les contraintes tangentielles t_Y, t_Z dues aux efforts tranchants T_Y et T_Z  dans les sections droites des poutres à plan moyen chargées dans ce plan. Les contraintes tangentielles dues au moment de torsion Mt_X seront étudiées dans un chapitre ultérieur. Dans les articles précédents nous avons étudié les contraintes normales dues à l’effort normal « N » et aux moments fléchissant Mt_Z, Mt_Y.
On se place dans une section de poutre en équilibre. Nous avons établi les relations entres les composantes du vecteur contrainte appliqué en « M » et les éléments de réduction du torseur des forces de gauche :

Le théorème de Cauchy

Considérons un prisme élémentaire à l’intérieur d’une poutre soumise à des charges verticales. Le volume de ce prisme est défini par dx, dy, dz. Prenons par hypothèse  dz. = 1. Les faces du prisme sont soit parallèles, soit perpendiculaires à la direction verticale des forces.

Chaque facette du prisme est soumise à une contrainte qui se projette sur les axes X et Y par une composante normale « n » et une composante tangentielle « t ». Le prisme est en équilibre les contraintes sur les facettes sont donc opposées.
Puisque le prisme est en équilibre nous pouvons écrire les équations fondamentales de la statique:

Nous pouvons négliger les termes de deuxième ordre dn x dy devant les termes de premier ordre ; nous obtenons:

Exprimons la somme des moments par rapport au point « o » est nulle car il y a équilibre :
Remplaçons  ( t₄) par (t₁)   et   ( t₃) par (t₂) :
Nous obtenons :
Les contraintes t₁ et t₂ sont donc opposées par leurs origines.

Expression de la contrainte tangentielle

Considérons un tronçon élémentaire de la poutre définie par 2 sections droites distantes de dx. Isolons sur ce tronçon  le volume compris entre un plan horizontal a a’ b b’ et la partie supérieure de la poutre. Le volume correspondant présente la forme d’une « calotte » (voir schéma ci-dessous) :
Dans un premier temps étudions l’équilibre du tronçon.

Par hypothèse aucune charge n’est appliquée entre les 2 sections S et S’.

Etudions maintenant l’équilibre de la calotte.
Les deux surfaces grises représentant une section « ε  » sont soumises à des contraintes normales dues au moment fléchissant et contraintes tangentielles dues à l’effort tranchant
D’après « Cauchy » la contrainte tangentielle selon l’axe « y » a même valeur que la contrainte dans le plan de coupe horizontal orienté selon « x ».

Exprimons les contraintes sur les surfaces grises et sur la surface aa’bb’ :



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