topo-métrique : calcul

1/ Introduction

Rappel et mise au point

En topographie, les angles sont observés et mesurés dans le sens topographique ou sens des aiguilles d'une montre. L'unité angulaire employée est le grade et a pour symbole gon (du grec gônia). En guise de rappel, le tableau suivant reprend les unités officielles de longueurs et de surfaces employées en topographie :

Grandeur	Unité	Symbole
Distance	Mètre	m et km
Angle	Grade	gon ,mgon et dmgon
	radian	rad ,mrad
Surface	Mètre carré	m²
Surface agraire	are	a ,ca et ha

* Le grade (ou gon) est l'angle au centre qui intercepte sur la circonférence un arc d'une longueur égale à 1/400 de celle de cette circonférence.

La conversion radians - grades s'exprime par la relation :

Avec 2π = 400gon

Relation entre les unités de mesure des angles

2/ Résolution de triangles

La trigonométrie constituant la base des calculs topographiques, il est utile de savoir calculer les paramètres définissant la figure élémentaire de base qu'est le triangle. Ce paragraphe rappelle quelques formules simples issues de la trigonométrie dans le plan.

a, b, c : longueurs des côtés opposés aux sommets

A, B, C du triangle quelconque ABC

A', B', C' : angles aux sommets A, B, C du triangle

quelconque ABC

Suivant les données dont on dispose, le calcul des inconnues du triangle se calculent à l'aide des formules présentées dans le tableau ci-dessous :

Formulaires servant aux calculs des résolutions des triangles

3/ Système de projection Lambert

                            

La plupart des cartes topographiques employées en France (et par conséquent au Maroc) ont été élaborées suivant la projection conique conforme de Lambert. Nous retiendrons que cette projection projette, d'une part, les méridiens selon des droites concourantes présentant un angle Gamma (appelé "convergence des méridiens") et d'autre part les parallèles selon des cercles concentriques (projection "conique"). Elle a pour caractéristique de conserver les angles (projection "conforme").

Système Lambert Maroc

Avant d'aborder le calcul de coordonnées dans le plan, nous rappelons la définition des coordonnées d'un point M quelconque suivant le système d'axes employé :

Systèmes de coordonnées planes

4/ Calcul d'un gisement :

On appelle gisement d'une direction orientée AB, l'angle orienté que fait cette direction avec l'axe parallèle à l'axe des ordonnées, pris pour origine du quadrillage et orienté du sud vers le nord. Les gisements sont comptés positivement de 0 à 400 gon dans le sens de la marche des aiguilles d'une montre (sens topographique). La figure ci-après présente en rouge le gisement de la droite AB.           

Gisement d'une droite AB

Le gisement d'une droite AB se calcule à l'aide des coordonnées des points A et B de la manière suivante :

Dans ce calcul d'arc (arctan) compris entre 0 et 400 gon, il faut considérer 2 valeurs possibles pour l'angle considéré car GAB=GAB+ou- 200.

La valeur du gisement va dépendre du signe du numérateur et du dénominateur, c'est pourquoi, avant tout calcul de gisement, il sera nécessaire d'effectuer les tests suivants :

Études de cas pour le calcul de gisement

Études de cas pour le calcul de gisement

Une autre méthode consiste à calculer le gisement par conversion d'angle rectangulaire/polaire. Néanmoins, pour des raisons de confort de calculs, il est conseillé d'adopter la première méthode. La revue Géomatique Expert - n°7 -  septembre 2000 présente encore d'autres méthodes de calcul du gisement.

  

5/ Calcul d'un point lancé :

Lorsque les coordonnées d'une extrémité A d'un segment ainsi que son gisement et sa longueur sont connus, il est aisé de calculer les coordonnées de l'autre extrémité B par point lancé.

6/ Transmission de gisements :

Avant d'aborder la transmission de gisements, il est utile de détailler l'expression des gisements lorsque la droite orientée change de sens et lorsqu'elle subit une rotation.

Changement de sens :

Rotation directe :

Calcul d'un angle :

Calcul d'une transmission de gisements :

À l'aide des relations précédentes, nous pouvons exprimer dans un cheminement polygonal orienté de 1 vers n, le gisement d'arrivée en fonction du gisement de départ.

Intersection de droites

Le calcul des coordonnées d'un point défini par l'intersection de 2 droites peut être réalisé par résolution du système d'équation des deux droites, ou par résolution de triangles, ou encore, comme nous allons le voir, à partir des gisements des droites.

On connaît les points A et B par leurs coordonnées et les gisements GAM et GBM vers le point M. On recherche les coordonnées EM et NM du point M à partir de ces données.

Les calculs sont les suivants :

7/ Changement de repère (système d'axes rectangulaires plans) Principe :

On connaît les coordonnées du point M dans le système de coordonnées rectangulaires planes (E,N). Afin de déterminer ses coordonnées dans un autre système de coordonnées, on opère un changement de repère. Par exemple, la digitalisation d'une carte, se fait tout d'abord dans le système de coordonnées relatif à la table à digitaliser. Afin d'accéder aux coordonnées des points dans un autre système, il est nécessaire de réaliser un changement de repère.

8/ Expression des transformations directe et inverse

 :

Les formules permettant d'un passer d'un système à l'autre sont les suivantes :

9/ Calcul de relèvement :

Le relèvement correspond à une situation de levé, lors duquel il est nécessaire de stationner un point inconnu en coordonnées. Et afin que ce point soit calculable, il est nécessaire de viser au moins 3 points d'appuis.

D'un point de vue gémétrique, le relèvement est une intersection de 2 arcs capables. Plusieurs solutions de calculs de relèvement existent, qu'elles soient géométriques ou analytiques. Pour des raisons de simplification de calculs, nous n'aborderons ici que la solution analytique de relèvement simple selon Delambre.

Considérons M comme intersection de droites (AM) et (BM) et de (AM) et (CM). Sachant calculer un point par intersection de 2 droites, il nous est possible d'exprimer la distance

AM à partir de l'intersection des droites (AM) et (BM), puis cette même distance à partir des droites (AM) et (CM). Ainsi, en vérifiant l'égalité des deux expressions de AM et après simplification, nous en déduisons les relations suivantes :